Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Paso 3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Paso 5

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 8.2

Multiplica $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ por $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Paso 11.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 2$ y en $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Simplifica.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 11.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 11.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 11.3.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Paso 11.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 12.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 12.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.4.1

Mueve $e^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

Paso 12.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

Paso 12.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 12.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 12.5.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

Paso 12.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.28594947 \dots$

Paso 14