Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Paso 1

Distribute denominator.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ a $\sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (θ)$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + 1 d θ$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) d θ + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Paso 4

Como la derivada de $\tan (θ)$ es $\sec^{2} (θ)$ , la integral de $\sec^{2} (θ)$ es $\tan (θ)$ .

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ y $θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\tan (θ) + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\tan (θ) + θ$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$(\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - (\tan (0) + 0)$

Paso 6.2.2

Suma $\tan (0)$ y $0$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$1 + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Paso 6.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$1 + \frac{π}{4} - 0$

Paso 6.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 + \frac{π}{4} + 0$

Paso 6.3.4

Suma $1 + \frac{π}{4}$ y $0$ .

$1 + \frac{π}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$1 + \frac{π}{4}$

Forma decimal:

$1.78539816 \dots$