Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} e^{\frac{1}{x}}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = \frac{1}{x}$ . Entonces $d u_{1} = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , de modo que $- d u_{1} = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = \frac{1}{x}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Niega el exponente de $e^{u_{1}}$ y quítalo del denominador.

$- \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 4.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$- \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $- 1 u_{1}$ como $- u_{1}$ .

$- \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 4.2.2

Multiplica $e^{- u_{1}}$ por $1$ .

$- \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = - u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = - d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = - u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Paso 5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.2

Multiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Paso 9

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- u_{1}$ .

$e^{- u_{1}} + C$

Paso 9.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$