Cálculo Ejemplos

$y = \tan (\sqrt{7 t})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 t}$ como ${(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $7 t$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \tan (y)$ y $g (y) = 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Como $7^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = t$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.11

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t]))$

Paso 4.12

Combina $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ y $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t])$

Paso 4.13

Combina $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ y $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t]$

Paso 4.14

Reescribe $\frac{d}{d y} [t]$ como $t'$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} t'$

Paso 4.15

Combina $\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ y $t'$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $t'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} (2 t^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.3

Cancela el factor común de $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t' = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.4

Reordena los factores en $7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'$ .

$t' \cdot 7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $2 t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$t' \cdot 7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) = 2 t^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Divide cada término en $t' \cdot (7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ por $7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $t' \cdot (7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ por $7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{t' \cdot (7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}))}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común.

Paso 6.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t' \cdot \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{t' \cdot \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.4.2.4

Divide $t'$ por $1$ .

$t' = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Paso 7

Reemplaza $t'$ con $\frac{d t}{d y}$ .

$\frac{d t}{d y} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$