Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $y + 3$ por $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $y'$ y $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 3.6.4

Reordena los términos.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(y + 3)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Paso 5.2.1.2

Reordena.

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Paso 5.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Paso 5.2.1.2.2

Mueve $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Paso 5.3.2

Reescribe $- 1 y'$ como $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica $y' {(y + 3)}^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Reescribe ${(y + 3)}^{2}$ como $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Paso 5.3.3.2

Expande $(y + 3) (y + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Paso 5.3.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Paso 5.3.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Paso 5.3.3.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Paso 5.3.3.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Paso 5.3.3.3.2

Suma $3 y$ y $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Paso 5.3.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Paso 5.3.3.5

Simplifica.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve $9$ a la izquierda de $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Paso 5.3.4

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Paso 5.3.5

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.5.1

Suma $y' x$ a ambos lados de la ecuación.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Paso 5.3.5.2

Resta $2 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Paso 5.3.5.3

Resta $2 y'$ de $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Paso 5.3.6

Factoriza $y'$ de $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Paso 5.3.6.2

Factoriza $y'$ de $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Paso 5.3.6.3

Factoriza $y'$ de $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Paso 5.3.6.4

Factoriza $y'$ de $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Paso 5.3.6.5

Factoriza $y'$ de $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Paso 5.3.6.6

Factoriza $y'$ de $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Paso 5.3.6.7

Factoriza $y'$ de $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Paso 5.3.7

Divide cada término en $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ por $y^{2} + 6 y + x + 7$ y simplifica.

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Paso 5.3.7.1

Divide cada término en $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ por $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Paso 5.3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.7.2.1

Cancela el factor común de $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

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Paso 5.3.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Paso 5.3.7.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Paso 5.3.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$