Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Paso 1.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (3 - x) - 5 (3 - x)}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 (3 - x)}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 1.1.3.4.1

Reordena $x$ y $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Paso 1.1.3.4.2

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza el negativo.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x \cdot x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Paso 1.1.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Paso 1.1.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x^{1}) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Paso 1.1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{1 + 1} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Paso 1.1.3.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.3.9.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Paso 1.1.3.9.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.9.2.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 - 5 \cdot - 1 x}$

Paso 1.1.3.9.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 + 5 x}$

Paso 1.1.3.9.2.3

Reordena $3 x$ y $- x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x - 15 + 5 x}$

Paso 1.1.3.9.2.4

Reordena $- 15$ y $5 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x + 5 x - 15}$

Paso 1.1.3.9.2.5

Mueve $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 3 x - 15}$

Paso 1.1.3.9.3

Suma $5 x$ y $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 8 x - 15}$

Paso 1.1.3.10

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.1.3.11

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 5$ y $g (x) = 3 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [3 - x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [- x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- \frac{d}{d x} [x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.11

Reescribe $- 1 (x - 5)$ como $- (x - 5)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Paso 1.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Paso 1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Paso 1.3.14

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + 0)}$

Paso 1.3.15

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \cdot 1}$

Paso 1.3.16

Multiplica $3 - x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + 3 - x}$

Paso 1.3.17

Simplifica.

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Paso 1.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x - - 5 + 3 - x}$

Paso 1.3.17.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.17.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 5 + 3 - x}$

Paso 1.3.17.2.2

Suma $5$ y $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 8 - x}$

Paso 1.3.17.2.3

Resta $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 2 x + 8}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2$ y $- 2 x + 8$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{- 2 x + 8}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 8}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 2 (4)}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x + 4)}$

Paso 1.4.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 (- x + 4)}$

Paso 1.4.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{- x + 4}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 \cdot 1 + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 + \frac{4}{x}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.7

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 \cdot 0}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 0}$

Paso 5.1.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Paso 5.2

Divide $1$ por $- 1$ .

$- 1$