Cálculo Ejemplos

$e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 1

Combina fracciones.

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Paso 1.1

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 4}{3})]$

Paso 1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3})]$

Paso 1.2.2

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}] + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$e^{x} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 7.2

Resta $3$ de $2$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 8.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$e^{x} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 9

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 10

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 10.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 10.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 10.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 10.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 10.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 12

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 13

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 15.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 17

Combina $x^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 18

Multiplica.

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Paso 18.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 18.2

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 19

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{3 \cdot 2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 20

Multiplica.

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Paso 20.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{3 \cdot 2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 20.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{6}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 20.3

Mueve $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{12}{6 x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 21

Factoriza $6$ de $12$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 \cdot 2}{6 x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 22

Cancela los factores comunes.

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Paso 22.1

Factoriza $6$ de $6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 \cdot 2}{6 (x^{\frac{5}{2}})}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 22.2

Cancela el factor común.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 \cdot 2}{6 x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 22.3

Reescribe la expresión.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 23

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) e^{x}$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) e^{x}$

Paso 24.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Paso 24.3

Combina los términos.

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Paso 24.3.1

Combina $e^{x}$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Paso 24.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$- \frac{2 \cdot e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Paso 24.3.3

Combina $e^{x}$ y $\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{e^{x} \cdot 2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Paso 24.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Paso 24.3.5

Combina $e^{x}$ y $\frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{e^{x} \cdot 4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 24.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 24.4

Reordena los términos.

$- e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{3}{2}}}$