Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.7

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.9

Suma $\frac{2}{3}$ y $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 7.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.12.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 7.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 7.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - 0)$

Paso 7.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} + 0)$

Paso 7.2.3.14

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 7.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{3}$

Paso 7.2.3.16

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$

Paso 9