Cálculo Ejemplos

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x^{2} + b x + c$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $a x^{2}$ con respecto a $a$ es $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 1.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $b x$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $b x$ con respecto a $a$ es $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 1.3.2

Como $c$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $c$ con respecto a $a$ es $0$ .

$x^{2} + 0 + 0$

Paso 1.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.1

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} + 0$

Paso 1.4.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2}$

Paso 2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $a$ es $0$ .

$f'' (a) = 0$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x^{2} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x^{2} + b x + c$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $a x^{2}$ con respecto a $a$ es $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.3.1

Como $b x$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $b x$ con respecto a $a$ es $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Paso 4.1.3.2

Como $c$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $c$ con respecto a $a$ es $0$ .

$x^{2} + 0 + 0$

Paso 4.1.4

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.1

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f' (a) = x^{2}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (a)$ con respecto a $a$ es $x^{2}$ .

$x^{2}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Puntos críticos para evaluar.

$a = 0$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada en $a = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$0$

Paso 8

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 9