Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{0} (x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} d x + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 4

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 \int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + 4 x]_{- 1}^{0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0}$ y $4 x]_{- 1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + 4 x]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.2.1

Evalúa $\frac{1}{6} x^{6} + 4 x$ en $0$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 11.2.2

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $0$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 11.2.3

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $0$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4

Simplifica.

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Paso 11.2.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.4

Suma $0$ y $0$ .

$0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$0 - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$0 - (\frac{1}{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.8

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4 \cdot \frac{6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.9

Combina $- 4$ y $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} + \frac{- 4 \cdot 6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - \frac{1 - 4 \cdot 6}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.11.1

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$0 - \frac{1 - 24}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.11.2

Resta $24$ de $1$ .

$0 - \frac{- 23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - - \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{23}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.14

Multiplica $\frac{23}{6}$ por $1$ .

$0 + \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.15

Suma $0$ y $\frac{23}{6}$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.16

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.17

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 11.2.4.17.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.17.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.17.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.19

Resta $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.20

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{23}{6} + 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.21

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.22

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.4.22.1

Cancela el factor común.

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.22.2

Reescribe la expresión.

$\frac{23}{6} + 1 + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.23

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{23}{6} + \frac{6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{23 + 6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.25

Suma $23$ y $6$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.26

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.27

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 11.2.4.27.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.27.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.27.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.27.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.27.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.27.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 11.2.4.28

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{1}{2})$

Paso 11.2.4.29

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (- \frac{1}{2})$

Paso 11.2.4.30

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{29}{6} - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.4.31

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 4}{2}$

Paso 11.2.4.32

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 11.2.4.32.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Paso 11.2.4.32.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.32.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 11.2.4.32.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.32.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{29}{6} + \frac{- 2}{1}$

Paso 11.2.4.32.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{29}{6} - 2$

Paso 11.2.4.33

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Paso 11.2.4.34

Combina $- 2$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Paso 11.2.4.35

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{29 - 2 \cdot 6}{6}$

Paso 11.2.4.36

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.36.1

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$\frac{29 - 12}{6}$

Paso 11.2.4.36.2

Resta $12$ de $29$ .

$\frac{17}{6}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{17}{6}$

Forma decimal:

$2.8\overline{3}$

Forma de número mixto:

$2 \frac{5}{6}$

Paso 13