Cálculo Ejemplos

$y = (x^{5} + 3) \cdot 4 x^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{5} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot (x^{5} + 3) x^{3}]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (x^{5} + 3) x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5} + 3$ y $g (x) = x^{3}$ .

$4 ((x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 ((x^{5} + 3) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{5} + 3$ .

$4 (3 \cdot (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]))$

Paso 3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + 0))$

Paso 3.6

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4}))$

Paso 4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{4}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4} x^{3} \cdot 5)$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4 + 3} \cdot 5)$

Paso 4.3

Suma $4$ y $3$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{7} \cdot 5)$

Paso 5

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{7}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + 5 \cdot x^{7})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 ((3 x^{5} + 3 \cdot 3) x^{2} + 5 x^{7})$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x^{5} x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 5 x^{7})$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x^{5} x^{2}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Paso 6.4

Combina los términos.

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Paso 6.4.1

Multiplica $x^{5}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$4 (3 (x^{2} x^{5})) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Paso 6.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (3 x^{2 + 5}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Paso 6.4.1.3

Suma $2$ y $5$ .

$4 (3 x^{7}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Paso 6.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{7} + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Paso 6.4.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$12 x^{7} + 4 (9 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Paso 6.4.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 4 (5 x^{7})$

Paso 6.4.5

Multiplica $5$ por $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 20 x^{7}$

Paso 6.4.6

Suma $12 x^{7}$ y $20 x^{7}$ .

$32 x^{7} + 36 x^{2}$