Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Combina $\frac{x}{3}$ y ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

Paso 4.8

Multiplica ${(2 x + 1)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.2

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.3

Combina $6$ y $\frac{x}{3}$ .

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.4

Combina $\frac{6 x}{3}$ y ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Factoriza $3$ de $6 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.5.2.4

Divide $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.6

Factoriza ${(2 x + 1)}^{2}$ de $2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Factoriza ${(2 x + 1)}^{2}$ de $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Paso 5.6.2

Factoriza ${(2 x + 1)}^{2}$ de $\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.6.3

Factoriza ${(2 x + 1)}^{2}$ de ${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.7

Reescribe ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.8

Expande $(2 x + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.9.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.9.1.2.1

Mueve $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.9.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Paso 5.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 5.10.2

Multiplica $\frac{1}{3} (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 5.10.2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 5.10.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 5.11

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 5.12

Combina $2 x$ y $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 5.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 5.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

Paso 5.15

Multiplica $3$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

Paso 5.16

Suma $6 x$ y $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

Paso 5.17

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Paso 5.18

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.18.1

Multiplica $4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.18.1.1

Combina $4$ y $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Paso 5.18.1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Paso 5.18.2

Multiplica $4 x \frac{8 x + 1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.18.2.1

Combina $4$ y $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Paso 5.18.2.2

Combina $x$ y $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Paso 5.18.3

Multiplica $\frac{8 x + 1}{3}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

Paso 5.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.20.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.20.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.20.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.5.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.20.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.5.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.5.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.9

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.20.10.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.20.10.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.20.10.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.21

Suma $4 x^{2}$ y $32 x^{2}$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Paso 5.22

Suma $4 x$ y $8 x$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$