Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x}}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{\sqrt{x}}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 4.2

Divide la fracción en varias fracciones.

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Paso 4.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Paso 4.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 4.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} + C$