Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.4.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 1.1.3.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Paso 1.1.3.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 1.3.5

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Paso 1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Paso 1.3.8.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Paso 1.3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Paso 1.3.8.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 1.3.8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Paso 1.3.8.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Paso 1.3.8.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Paso 1.3.8.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Paso 1.3.9

Suma $0$ y $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{2 \sin (2 x)}$

Paso 2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.7.1.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.7.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.7.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.7.1.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 3.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)]$ .

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Paso 3.3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.5

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.6

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.3.9

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.4

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Suma $\sec^{2} (x)$ y $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.5.3.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.4

Multiplica $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

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Paso 3.3.5.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.4.2

Combina $x$ y $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.6

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.7

Combinar.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.8

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.3.8.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.5.3.8.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.8.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.9

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.5.3.12

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 3.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Para escribir $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos^{3} (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.2.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.4.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{\cos (2 x)}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.10

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 4.12

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 4.13

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.2

Combinar.

$\frac{1 \frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.3.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.3.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.3.6

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1 \frac{2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{1^{3}}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 (\frac{2}{1})}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.6.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (0)}$

Paso 6.6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.7

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{2}{4 \cdot 1}$

Paso 6.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 6.9

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 6.9.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 6.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 6.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 6.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$