Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Paso 1

Sea $x = 3 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3 \tan (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3 \tan (t)$ de ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3 \tan (t)$ de $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Paso 4

Cancela el factor común de $\sec (t)$ y $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 4.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Paso 5

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Paso 6

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Paso 7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Multiplica $\cos (t)$ por $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Paso 10

La integral de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$