Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Factoriza $i$ de $i - i^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Paso 1.1.2

Factoriza $i$ de $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Paso 1.1.3

Factoriza $i$ de $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Paso 1.1.4

Factoriza $i$ de $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Paso 1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Paso 2

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $i$ sea igual a $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Paso 3.1

Simplifica la suma.

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Paso 3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Paso 3.1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Paso 3.2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Paso 3.3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $\frac{1}{3}$ fuera de la suma.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Paso 3.3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Paso 3.3.4

Simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1.1

Suma $10$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $10$ por $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Paso 3.3.4.1.3

Divide $110$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Paso 3.3.4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $55$ .

$\frac{55}{3}$

Paso 3.4

Evalúa $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $- \frac{1}{3}$ fuera de la suma.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Paso 3.4.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.4.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Paso 3.4.4

Simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1.1

Suma $10$ y $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Paso 3.4.4.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.4.4.1.2.1

Multiplica $10$ por $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Paso 3.4.4.1.2.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Paso 3.4.4.1.3

Suma $20$ y $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Paso 3.4.4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.4.2.1

Multiplica $110$ por $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Paso 3.4.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Paso 3.4.4.2.2.2

Factoriza $3$ de $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Paso 3.4.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Paso 3.4.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Paso 3.4.4.2.3

Cancela el factor común de $770$ y $6$ .

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Paso 3.4.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Paso 3.4.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Paso 3.4.4.2.4

Reescribe $- 1 (\frac{385}{3})$ como $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

Paso 3.5

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{55 - 385}{3}$

Paso 3.6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.2.1

Resta $385$ de $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Paso 3.6.2.2

Divide $- 330$ por $3$ .

$- 110$

Paso 4

Evalúa $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Paso 4.1

Simplifica la suma.

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Paso 4.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Paso 4.1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Paso 4.2

Expande la serie para cada valor de $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Paso 4.3.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Paso 4.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Paso 4.3.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Paso 4.3.2.6

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Paso 4.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Paso 4.3.4

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Paso 4.3.5

Resta $4$ de $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Paso 4.3.6

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Paso 4.3.7

Resta $9$ de $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Paso 4.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{3}$

Paso 5

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Para escribir $- 110$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 6.2

Combina $- 110$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $- 110$ por $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Paso 6.4.2

Suma $- 330$ y $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{322}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{322}{3}$

Forma decimal:

$- 107.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$- 107 \frac{1}{3}$