Cálculo Ejemplos

$y = \arcsin (2 x + 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arcsin (2 x + 1))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \arcsin (y)$ y $g (y) = 2 x + 1$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 3.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + 0)$

Paso 3.5

Combina fracciones.

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Paso 3.5.1

Suma $2 x'$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x')$

Paso 3.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} x'$

Paso 3.5.3

Combina $\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ y $x'$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 x' = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Multiplica $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$2 x' = \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{1^{2} - {(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 2 x + 1$ .

$2 x' = \sqrt{(1 + 2 x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 x' = \sqrt{(2 x + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Paso 5.3.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

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Paso 5.3.2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Paso 5.3.2.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2 (1)) (1 - (2 x + 1))}$

Paso 5.3.2.1.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Paso 5.3.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x) - 1 \cdot 1)}$

Paso 5.3.2.1.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1 \cdot 1)}$

Paso 5.3.2.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1)}$

Paso 5.3.2.1.3.6

Resta $1$ de $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (- 2 x + 0)}$

Paso 5.3.2.1.3.7

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) \cdot - 2 x}$

Paso 5.3.2.1.3.8

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 x' = \sqrt{- 4 (x + 1) x}$

Paso 5.3.2.1.4

Reescribe $- 4 (x + 1) x$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)$ .

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Paso 5.3.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$2 x' = \sqrt{4 (- 1) (x + 1) x}$

Paso 5.3.2.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1) x}$

Paso 5.3.2.1.4.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1^{2}) x}$

Paso 5.3.2.1.4.4

Agrega paréntesis.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 ((x + 1^{2}) x)}$

Paso 5.3.2.1.4.5

Agrega paréntesis.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)}$

Paso 5.3.2.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1^{2}) x}$

Paso 5.3.2.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1.6.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$

Paso 5.3.2.1.6.2

Reordena los factores en $2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$ .

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ por $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Paso 5.4.3.1.2

Divide $\sqrt{- x (x + 1)}$ por $1$ .

$x' = \sqrt{- x (x + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \sqrt{- x (x + 1)}$