Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} - x$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x} - x) (\sqrt{x} + x)}{\sqrt{x} + x}$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{1} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x}{1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

Paso 4.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

Paso 4.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{1}{x}} + 1}$

Paso 5

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$

Paso 6

Como su numerador no está acotado mientras que su denominador se acerca a un número constante, la fracción $\frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$ se acerca al infinito negativo.

$- \infty$