Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{t} (t^{2} + 3 t + 2) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t^{2} + 3 t + 2$ y $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Paso 2

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 3) d t$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Paso 3.2

Reordena $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Paso 3.3

Reordena $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.6

Combina $\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $t$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.7

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.11

Suma $3$ y $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 3.12

Combina $3$ y $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Paso 3.13

Multiplica $3$ por $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{6 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $3$ de $6 t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d t$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d t$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{1} d t$

Paso 4.2.4

Divide $2 t^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Paso 6

Dado que $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{4}{3}$ fuera de la integral.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Paso 8

Combina $\frac{2}{7}$ y $t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Paso 9

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3.4

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3.5

Combina $2$ y $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

Paso 11.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3.7

Para escribir $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 11.3.8

Combina $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 11.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 11.3.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 11.4

Reordena los términos.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{5} t^{\frac{5}{2}})) + C$