Cálculo Ejemplos

$y = {(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(2 \frac{1}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Paso 3.1.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Paso 3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{3}}]$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Paso 3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Paso 3.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}}]$

Paso 3.3.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 3.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{2 \cdot 3}}}]$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{6}}}]$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d}{d y} [1 \frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}$ por $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = x^{6}$ y $g (y) = {(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica los exponentes en ${({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{6}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.9

Mueve $6$ a la izquierda de ${(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} \frac{d}{d y} [x] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.10

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = 2 + 3 x^{2}$ .

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Paso 3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.11.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.12

Diferencia.

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Paso 3.12.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.12.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.12.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.12.5

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (3 \frac{d}{d y} [x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.12.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.12.6.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} (3 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.12.6.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.13.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.13.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 u_{3} \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.13.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.14

Simplifica la expresión.

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Paso 3.14.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} (2 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.14.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 (x^{1} x^{6}) ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{1 + 6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.17

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.18

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19

Simplifica.

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Paso 3.19.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.19.1.1

Factoriza $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ de $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

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Paso 3.19.1.1.1

Factoriza $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ de $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19.1.1.2

Factoriza $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ de $- 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19.1.1.3

Factoriza $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ de $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2} - 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19.1.2

Resta $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 0)}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19.1.3

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' \cdot 2}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19.1.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19.2

Cancela el factor común de ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ y ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

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Paso 3.19.2.1

Factoriza ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ de $12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Paso 3.19.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.19.2.2.1

Factoriza ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ de ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Paso 3.19.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Paso 3.19.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Paso 3.19.3

Reordena los términos.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$12 x^{5} x' = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ por $1$ .

$12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Paso 5.4

Divide cada término en $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ por $12 x^{5}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ por $12 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$