Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (3 x - 2 \sqrt{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{1} 3 x - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 9.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 (\frac{1}{2} + 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.5

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$3 (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.6

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.9

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.10

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 9.2.3.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 9.2.3.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Paso 9.2.3.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Paso 9.2.3.13

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 9.2.3.14

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.14.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 9.2.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.14.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 9.2.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 9.2.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 9.2.3.14.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - 0)$

Paso 9.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} + 0)$

Paso 9.2.3.16

Suma $\frac{2}{3}$ y $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3})$

Paso 9.2.3.17

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

Paso 9.2.3.18

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 4}{3}$

Paso 9.2.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} - \frac{4}{3}$

Paso 9.2.3.20

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 9.2.3.21

Para escribir $- \frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9.2.3.22

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.2.3.22.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9.2.3.22.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9.2.3.22.3

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 9.2.3.22.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Paso 9.2.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 3 - 4 \cdot 2}{6}$

Paso 9.2.3.24

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.24.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 - 4 \cdot 2}{6}$

Paso 9.2.3.24.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{9 - 8}{6}$

Paso 9.2.3.24.3

Resta $8$ de $9$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$

Paso 11