Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) d x$

Paso 1

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 x) d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 x) d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 x) d x)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Paso 6

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 6.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 7

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Paso 9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $x$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Paso 10.2

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Paso 10.3

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Paso 11.3

Suma $\sin (π)$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Paso 11.4

Combina $\sin (π)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Paso 12.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 12.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

Paso 12.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

Paso 12.4

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 12.5

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Paso 12.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 12.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{4}$

Forma decimal:

$0.78539816 \dots$