Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^{2} - 2}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\sqrt{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\sqrt{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\sqrt{2}$ para $x$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - lim_{x \to \sqrt{2}} \sqrt{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $\sqrt{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \sqrt{2}} x - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\sqrt{2}$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Paso 1.1.3.3

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^{2} - 2}{x - \sqrt{2}} = lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - \sqrt{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - \sqrt{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - \sqrt{2}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - \sqrt{2}]}$

Paso 1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - \sqrt{2}]}$

Paso 1.3.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - \sqrt{2}]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \sqrt{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Paso 1.3.8

Como $- \sqrt{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sqrt{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{2 x}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{2 x}{1}$

Paso 1.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to \sqrt{2}} x$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\sqrt{2}$ para $x$ .

$2 \sqrt{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$2.82842712 \dots$