Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Paso 1

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (θ)$ como $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 4

Como la derivada de $\tan (θ)$ es $\sec^{2} (θ)$ , la integral de $\sec^{2} (θ)$ es $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ y $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $- θ + \tan (θ)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Paso 5.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Paso 5.3.3

Suma $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ y $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Paso 6

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{2})$ es $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Paso 6.1

Divide $\frac{π}{2}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Paso 6.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Paso 6.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Paso 6.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Paso 6.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Paso 6.6

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.7

Simplifica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Paso 6.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.7.1.1

Multiplica $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Paso 6.7.1.1.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Paso 6.7.1.1.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Paso 6.7.1.1.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Paso 6.7.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Paso 6.7.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Paso 6.7.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.7.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Paso 6.7.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Paso 6.7.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Paso 6.7.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Paso 6.7.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Paso 6.7.1.2.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Paso 6.7.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.7.1.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Paso 6.7.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Paso 6.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Paso 6.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Paso 6.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Paso 7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida