Cálculo Ejemplos

$r = \tan (θ) \sec (θ)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\tan (θ) \sec (θ))$

Paso 2

La derivada de $r$ con respecto a $θ$ es $r'$ .

$r'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = \tan (θ)$ y $g (θ) = \sec (θ)$ .

$\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.2

La derivada de $\sec (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.3

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.4

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.7

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \sec^{2} (θ)$

Paso 3.8

Multiplica $\sec (θ)$ por $\sec^{2} (θ)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.8.1

Multiplica $\sec (θ)$ por $\sec^{2} (θ)$ .

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Paso 3.8.1.1

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)$

Paso 3.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 2}$

Paso 3.8.2

Suma $1$ y $2$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$r' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Paso 5

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$