Cálculo Ejemplos

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{\sqrt{y}} d y$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{y^{4} + 2 y^{2} - 1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Paso 2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4

Expande $(y^{4} + 2 y^{2} - 1) y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (y^{4} + 2 y^{2}) y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y^{4} y^{- \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{4 - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.5

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int y^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\int y^{\frac{8 - 1}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.7.2

Resta $1$ de $8$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.9

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.10

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 4.12.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.12.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int y^{\frac{7}{2}} + 2 y^{\frac{3}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 4.13

Reordena $y^{\frac{7}{2}}$ y $2 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{7}{2}} - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y^{\frac{3}{2}} d y + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \int y^{\frac{7}{2}} d y + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $y^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - 1 y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 9.2

Reescribe $- 1 y^{- \frac{1}{2}}$ como $- y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C + \int - y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} + C - (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 12.2

Simplifica la expresión.

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Paso 12.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{9} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 12.2.2

Reordena los términos.

$\frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{9} y^{\frac{9}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}} + C$