Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{5} \sqrt{9 x^{2} - 1}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{1}{3} \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ es positiva.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{\sec (t)}{3})}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sec (t)}{3}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{3^{2}} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{\sec (t)}{3})}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sec (t)}{3}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{3^{5}} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{243} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2.2.2.2

Combina $\frac{\sec^{5} (t)}{243}$ y $\tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2.2.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2.2.2.4

Multiplica $\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2.2.2.5

Multiplica $\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ por $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 (\sec (t) \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t) \cdot 3} d t$

Paso 2.2.2.2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec^{5} (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 \sec (t) \tan (t)}{3 \cdot (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.2.2.7

Cancela el factor común de $243$ y $3$ .

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Paso 2.2.2.2.7.1

Factoriza $3$ de $243 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 \sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sec^{5} (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \sec (t) \tan (t)}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.2.2.8

Cancela el factor común de $\sec (t)$ y $\sec^{5} (t)$ .

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Paso 2.2.2.2.8.1

Factoriza $\sec (t)$ de $81 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.8.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{5} (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.2.2.9

Cancela el factor común de $\tan (t)$ .

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Paso 2.2.2.2.9.1

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.2.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81}{\sec^{4} (t)} d t$

Paso 3

Dado que $81$ es constante con respecto a $t$ , mueve $81$ fuera de la integral.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{4} (t)} d t$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{\cos (t)})}^{4}} d t$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (t)}} d t$

Paso 4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1}{\cos^{4} (t)}} d t$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \cos^{4} (t) d t$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Multiplica $\cos^{4} (t)$ por $1$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{4} (t) d t$

Paso 6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Paso 6.3

Reescribe ${\cos (t)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Paso 7

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Paso 8

Sea $u_{1} = 2 t$ . Entonces $d u_{1} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{1} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 8.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{1} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{1} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 8.5

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$81 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$81 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $81$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 10.2

Reescribe $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ como un producto.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Paso 10.3

Expande ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Paso 10.3.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 10.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 10.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 10.3.7

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.8

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.9

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.10

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.11

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.12

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.13

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 10.3.14

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.16

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.17

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.18

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.19

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.20

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.21

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.22

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.23

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.24

Multiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.25

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.26

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.27

Multiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.28

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10.3.29

Combina $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.30

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.31

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.32

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.33

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.34

Suma $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ y $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.35

Combina $2$ y $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.36

Reordena $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.3.37

Reordena $\frac{1}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $2$ de $2 \cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Paso 10.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Paso 10.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Paso 10.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{81}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 13

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 15.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 16

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 17

Aplica la regla de la constante.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 18

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 18.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 18.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 18.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 18.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 18.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 18.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 18.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.3.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 18.3.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = π$

Paso 18.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 18.5

Multiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 18.5.1

Combina $2$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 (2 π)}{3}$

Paso 18.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Paso 18.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Paso 18.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 19

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 20

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 21

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 22

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 23

Aplica la regla de la constante.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 24

Combina $\frac{1}{4}$ y $u_{1}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 25

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u_{1}) d u_{1})$

Paso 26

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 27

Simplifica.

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Paso 27.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2})$

Paso 27.2

Para escribir $\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 27.3

Combina $\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 27.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2 + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 27.5

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 27.6

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 27.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 27.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 27.6.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 27.6.2.2

Cancela el factor común.

Paso 27.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 28

Sustituye y simplifica.

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Paso 28.1

Evalúa $u_{1}$ en $\frac{2 π}{3}$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 28.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $\frac{4 π}{3}$ y en $π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 28.3

Evalúa $\sin (u_{1})$ en $\frac{2 π}{3}$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 28.4

Evalúa $\frac{u_{1}}{4}$ en $\frac{2 π}{3}$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5

Simplifica.

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Paso 28.5.1

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.2

Para escribir $- \frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 28.5.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.3.3

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2 - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - 3 π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.7

Resta $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.8

Reescribe $\frac{\frac{2 π}{3}}{4}$ como un producto.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.9

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.10

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.11

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 28.5.11.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 (π)}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 28.5.11.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Paso 28.5.12

Reescribe $\frac{\frac{π}{2}}{4}$ como un producto.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}))$

Paso 28.5.13

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{2 \cdot 4})$

Paso 28.5.14

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{8})$

Paso 28.5.15

Para escribir $\frac{π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8})$

Paso 28.5.16

Para escribir $- \frac{π}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 28.5.17

Escribe cada expresión con un denominador común de $24$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 28.5.17.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 28.5.17.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 28.5.17.3

Multiplica $\frac{π}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{8 \cdot 3})$

Paso 28.5.17.4

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{24})$

Paso 28.5.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{24})$

Paso 28.5.19

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{24})$

Paso 28.5.20

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 π - 3 π}{24})$

Paso 28.5.21

Resta $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 29

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 29.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 29.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 30.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) + 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.4

Suma $\sin (\frac{4 π}{3})$ y $0$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.5

Simplifica cada término.

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Paso 30.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 30.5.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.5.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.5.3

Multiplica $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 30.5.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.5.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.7

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 30.7.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{π}{6}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{4 \cdot 6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.7.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.8

Multiplica $\frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 30.8.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.8.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9

Simplifica cada término.

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Paso 30.9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 30.9.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.3

Para escribir $\frac{\sqrt{3}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 30.9.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{2 \cdot 8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.6

Para escribir $\frac{π}{24}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.7

Para escribir $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $48$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 30.9.1.8.1

Multiplica $\frac{π}{24}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{24 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.8.2

Multiplica $24$ por $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.8.3

Multiplica $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{16 \cdot 3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.8.4

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.10

Reordena los factores de $\sqrt{3} \cdot 8$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.11

Suma $- \sqrt{3}$ y $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.12

Simplifica el numerador.

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Paso 30.9.1.12.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot π + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.12.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.13

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{48}{48}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1 \cdot \frac{48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.14

Combina $- 1$ y $\frac{48}{48}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} + \frac{- 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.1.16

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.3

Multiplica $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 30.9.3.1

Multiplica $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48 \cdot 2} + \frac{π}{24})$

Paso 30.9.3.2

Multiplica $48$ por $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24})$

Paso 30.10

Para escribir $\frac{π}{24}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24} \cdot \frac{4}{4})$

Paso 30.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $96$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 30.11.1

Multiplica $\frac{π}{24}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{24 \cdot 4})$

Paso 30.11.2

Multiplica $24$ por $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{96})$

Paso 30.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + π \cdot 4}{96}$

Paso 30.13

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 \cdot π}{96}$

Paso 30.14

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 30.14.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$\frac{3 (27)}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{96}$

Paso 30.14.2

Factoriza $3$ de $96$ .

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

Paso 30.14.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

Paso 30.14.4

Reescribe la expresión.

$\frac{27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$

Paso 30.15

Multiplica $\frac{27}{2}$ por $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$ .

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{2 \cdot 32}$

Paso 30.16

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{64}$

Paso 30.17

Suma $2 π$ y $4 π$ .

$\frac{27 (6 π + 21 \sqrt{3} - 48)}{64}$

Paso 30.18

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{27 (6 π) + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

Paso 30.19

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 30.19.1

Multiplica $6$ por $27$ .

$\frac{162 π + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

Paso 30.19.2

Multiplica $21$ por $27$ .

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} + 27 \cdot - 48}{64}$

Paso 30.19.3

Multiplica $27$ por $- 48$ .

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

Paso 31

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

Forma decimal:

$3.04704402 \dots$

Paso 32