Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{n}}$ por $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{n}}$ por $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.2

Eleva $\sqrt{n}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.3

Eleva $\sqrt{n}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} {\sqrt{n}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.6

Reescribe ${\sqrt{n}}^{2}$ como $n$ .

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Paso 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n}$ como $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{(n^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.2.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ por $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - (\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}})$

Paso 1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ por $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1}}$

Paso 1.4.2

Eleva $\sqrt{n + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} \sqrt{n + 1}}$

Paso 1.4.3

Eleva $\sqrt{n + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} {\sqrt{n + 1}}^{1}}$

Paso 1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1 + 1}}$

Paso 1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{2}}$

Paso 1.4.6

Reescribe ${\sqrt{n + 1}}^{2}$ como $n + 1$ .

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Paso 1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n + 1}$ como ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{({(n + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{1}}$

Paso 1.4.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

Paso 2

Para escribir $\frac{\sqrt{n}}{n}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $n (n + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{n}}{n}$ por $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{(n + 1) n}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(n + 1) n$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{n} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n}$ como $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n + 1}$ como ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.4

Multiplica $n^{\frac{1}{2}}$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Multiplica $n^{\frac{1}{2}}$ por $n$ .

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Paso 6.4.1.1

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n^{1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + 1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{n^{\frac{1 + 2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.5

Multiplica $n^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Paso 6.6

Reordena los términos.

$\frac{- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Paso 6.7

Reescribe $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 6.7.1

Factoriza $n^{\frac{1}{2}}$ de $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.7.1.1

Factoriza $n^{\frac{1}{2}}$ de $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Paso 6.7.1.2

Factoriza $n^{\frac{1}{2}}$ de $n^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Paso 6.7.1.3

Multiplica por $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

Paso 6.7.1.4

Factoriza $n^{\frac{1}{2}}$ de $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

Paso 6.7.1.5

Factoriza $n^{\frac{1}{2}}$ de $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}} + 1)}{n (n + 1)}$

Paso 6.7.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{1} + 1)}{n (n + 1)}$

Paso 6.7.3

Simplifica.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1)}{n (n + 1)}$

Paso 7

Mueve $n^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n (n + 1) n^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 8

Multiplica $n$ por $n^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1

Mueve $n^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n (n + 1)}$

Paso 8.2

Multiplica $n^{- \frac{1}{2}}$ por $n$ .

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Paso 8.2.1

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n^{1} (n + 1)}$

Paso 8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + 1} (n + 1)}$

Paso 8.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (n + 1)}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{- 1 + 2}{2}} (n + 1)}$

Paso 8.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 9

Factoriza $- 1$ de $- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 10

Factoriza $- 1$ de $n$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 11

Factoriza $- 1$ de $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 12

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 13

Factoriza $- 1$ de $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 14

Reescribe $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ como $- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ .

$\frac{- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Paso 16

Reescribe la suma.

$\sum_{n = 4}^{\infty} - \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$