Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.5

Mueve el término $19$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.8

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.9

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.11.1.1

Multiplica $19$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.5

Multiplica $15$ por $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9 + 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.6

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.1.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.2.11.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}]$ .

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + 19 x}$ como ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 9 + 19 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + 19 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.5

Como $19$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $19 x$ con respecto a $x$ es $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.12

Multiplica $19$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.13

Suma $0$ y $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.15

Combina $\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.16

Mueve $19$ a la izquierda de ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 \cdot {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.17

Multiplica $19$ por ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.3.18

Mueve ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + 15 x}$ como ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 9 + 15 x$ .

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Paso 3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + 15 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.6

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.13

Multiplica $15$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.14

Suma $0$ y $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.16

Combina $\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.17

Mueve $15$ a la izquierda de ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 \cdot {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.18

Multiplica $15$ por ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.4.19

Mueve ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \cdot 1}$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 4

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1

Reescribe ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 + 19 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 4.2

Reescribe ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 + 15 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}}{3}$

Paso 5

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} (lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 7

Mueve el término $\frac{19}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 10

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 12

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 13

Mueve el término $19$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 14

Mueve el término $\frac{15}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 15

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 16

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Paso 17

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}})$

Paso 18

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Paso 19

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Paso 20

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Paso 21

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 21.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Paso 21.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Paso 22

Simplifica la respuesta.

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Paso 22.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 22.1.1.1

Multiplica $19$ por $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Paso 22.1.1.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Paso 22.1.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Paso 22.1.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Paso 22.1.2

Multiplica $\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 22.1.2.1

Multiplica $\frac{19}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2 \cdot 3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Paso 22.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Paso 22.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 22.1.3.1

Multiplica $15$ por $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}})$

Paso 22.1.3.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}})$

Paso 22.1.3.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}})$

Paso 22.1.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 22.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 22.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{2}$ al numerador.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 22.1.4.2

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 (- 5)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 22.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 22.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 5}{2})$

Paso 22.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2})$

Paso 22.2

Para escribir $- \frac{5}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 22.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 22.3.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

Paso 22.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{6})$

Paso 22.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 5 \cdot 3}{6}$

Paso 22.5

Simplifica el numerador.

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Paso 22.5.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 15}{6}$

Paso 22.5.2

Resta $15$ de $19$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6}$

Paso 22.6

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 22.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (2)}{6}$

Paso 22.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 22.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 22.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 22.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 22.7

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Paso 22.7.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3}$

Paso 22.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9}$