Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Paso 2

Sea $x = \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.3

Reescribe $\tan^{6} (t)$ como ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $\tan (t)$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $\tan (t)$ de $\tan^{3} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $\tan (t)$ de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ y $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\sec (x)$ como $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 4.2

Aplica la identidad recíproca.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3.2

Combinar.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3.3

Multiplica $\csc (t)$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.5

Combina $\cot (t)$ y $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.6

Reduce la expresión $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica por $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.6.2

Factoriza $\cot (t)$ de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 4.3.6.3

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 4.3.6.4

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Paso 4.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

Paso 5

Como la derivada de $- \csc (t)$ es $\csc (t) \cot (t)$ , la integral de $\csc (t) \cot (t)$ es $- \csc (t)$ .

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

Paso 6

Evalúa $- \csc (t)$ en $1.44546849$ y en $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

Paso 7

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{3})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 8.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 8.2.6.5

Evalúa el exponente.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$0.14679527 \dots$

Paso 10