Cálculo Ejemplos

$f (x) = 16 \ln (x^{2}) - x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})]$ .

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Paso 1.2.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$16 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$16 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.7

Combina $16$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{16 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.8

Multiplica $16$ por $2$ .

$\frac{32}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{32}{x} - (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{32}{x} - 2 x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 2 x + \frac{32}{x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x + \frac{32}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{32}{x}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 (- x^{- 2})$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 x^{- 2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 32$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{- 32}{x^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 2 - \frac{32}{x^{2}}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{32}{x^{2}} - 2$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 x + \frac{32}{x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.5

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$16 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$16 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.7

Combina $16$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{16 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $16$ por $2$ .

$\frac{32}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{32}{x} - (2 x)$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{32}{x} - 2 x$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 2 x + \frac{32}{x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x + \frac{32}{x}$ .

$- 2 x + \frac{32}{x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x + \frac{32}{x} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ por $x$ .

$- 2 x \cdot x + \frac{32}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$- 2 (x \cdot x) + \frac{32}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{32}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 2 x^{2} + \frac{32}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 2 x^{2} + 32 = 0 x$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 32$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 32$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 32$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.1

Divide $- 32$ por $- 2$ .

$x^{2} = 16$

Paso 5.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Paso 5.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 5.4.4.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Paso 5.4.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

Paso 5.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

Paso 5.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

Paso 5.4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{32}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4, - 4$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{32}{{(4)}^{2}} - 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{32}{16} - 2$

Paso 9.1.2

Divide $32$ por $16$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - 2$

Paso 9.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Paso 10

$x = 4$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 4$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 16 \ln ({(4)}^{2}) - {(4)}^{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 16 \ln (16) - {(4)}^{2}$

Paso 11.2.1.2

Simplifica $16 \ln (16)$ al mover $16$ dentro del algoritmo.

$f (4) = \ln (16^{16}) - {(4)}^{2}$

Paso 11.2.1.3

Eleva $16$ a la potencia de $16$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - {(4)}^{2}$

Paso 11.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - 1 \cdot 16$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - 16$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $\ln (18446744073709600000) - 16$ .

$y = \ln (18446744073709600000) - 16$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{32}{{(- 4)}^{2}} - 2$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{32}{16} - 2$

Paso 13.1.2

Divide $32$ por $16$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - 2$

Paso 13.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Paso 14

$x = - 4$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 4$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 4$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 16 \ln ({(- 4)}^{2}) - {(- 4)}^{2}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = 16 \ln (16) - {(- 4)}^{2}$

Paso 15.2.1.2

Simplifica $16 \ln (16)$ al mover $16$ dentro del algoritmo.

$f (- 4) = \ln (16^{16}) - {(- 4)}^{2}$

Paso 15.2.1.3

Eleva $16$ a la potencia de $16$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - {(- 4)}^{2}$

Paso 15.2.1.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - 1 \cdot 16$

Paso 15.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - 16$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $\ln (18446744073709600000) - 16$ .

$y = \ln (18446744073709600000) - 16$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ .

$(4, \ln (18446744073709600000) - 16)$ es un máximo local

$(- 4, \ln (18446744073709600000) - 16)$ es un máximo local

Paso 17