Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3}{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 3.6.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 3.6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 3.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 3.10.2

Resta $3$ de $2$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 3.12

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 3.13

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 3.14

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.14.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Paso 3.14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 3.14.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Paso 3.14.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Paso 3.14.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Paso 3.15

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x^{- 2} + 2 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 3.16

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 x^{- 2} - 2 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.17

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.18

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 x^{- 2} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$