Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x) + \tan (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) + \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 3.4

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reordena los factores de $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Paso 3.5.3.1

Combina $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ y $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.3.2

Combina $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ y $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.4

Combina $\sec^{2} (x)$ y $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.6

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Paso 3.5.6.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.6.2

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.5.6.3

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$