Cálculo Ejemplos

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.10

Combina $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.11

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.12

Combina $4$ y $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.13

Factoriza $2$ de $4 y'$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.14.1

Factoriza $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

Paso 6

Resuelve $y^{\frac{1}{2}}$

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Paso 6.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Paso 6.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Multiplica cada término en $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ por $y^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.2.1

Multiplica cada término en $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.1

Obtén un factor común $y^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Sustituye $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $u$

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Paso 6.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Paso 6.3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Paso 6.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

Paso 6.3.3.1.2

Simplifica.

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

Paso 6.3.3.2

Resta $2 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

Paso 6.3.3.3

Factoriza $u$ de $- y' u - 2 u$ .

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Paso 6.3.3.3.1

Factoriza $u$ de $- y' u$ .

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

Paso 6.3.3.3.2

Factoriza $u$ de $- 2 u$ .

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

Paso 6.3.3.3.3

Factoriza $u$ de $u (- y') + u \cdot - 2$ .

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

Paso 6.3.3.4

Divide cada término en $u (- y' - 2) = - 2 y'$ por $- y' - 2$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.4.1

Divide cada término en $u (- y' - 2) = - 2 y'$ por $- y' - 2$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Paso 6.3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $- y' - 2$ .

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Paso 6.3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Paso 6.3.3.4.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Paso 6.3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Paso 6.3.3.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y'$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Paso 6.3.3.4.3.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

Paso 6.3.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- y' - 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

Paso 6.3.3.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.3.4.3.5.1

Reescribe $- (y' + 2)$ como $- 1 (y' + 2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

Paso 6.3.3.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

Paso 6.3.3.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

Paso 6.3.3.4.3.5.4

Multiplica $\frac{2 y'}{y' + 2}$ por $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Paso 6.3.4

Sustituye $y'$ por $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$