Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\cos (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10

Combina $\cos (x)$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 12

Multiplica $\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 13

Combinar.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 14

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 15

Cancela el factor común de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 15.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 15.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x) + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 16

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 18

Simplifica la expresión.

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Paso 18.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 18.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 19

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 19.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 20

Simplifica.

$\frac{\cos (x) - 2 x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 21

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x (- \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 22

Simplifica la expresión.

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Paso 22.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\cos (x) + 2 x \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Paso 22.2

Reordena los términos.

$\frac{2 x \sin (x) + \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$