Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Paso 4

Evalúa $\arctan (x)$ en $t$ y en $0$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Paso 5.2

El límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $\arctan (0)$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

Paso 5.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Paso 5.4.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$