Cálculo Ejemplos

${(x y)}^{x} = e$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d x} (e)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(x y)}^{x}$ como $e^{\ln ({(x y)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x y)}^{x})}]$

Paso 2.1.2

Expande $\ln ({(x y)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x y)}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x y)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x \ln (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.1

Combina $\frac{1}{x y}$ y $x$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \cdot 1) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.9

Multiplica $y$ por $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \cdot 1)$

Paso 2.11

Multiplica $\ln (x y)$ por $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y))$

Paso 2.12

Simplifica.

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Paso 2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y') + \frac{1}{y} y + \ln (x y))$

Paso 2.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y')) + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.3

Combina los términos.

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Paso 2.12.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{y} y') + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.3.2

Combina $\frac{x}{y}$ y $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{x y'}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.3.3

Combina $e^{x \ln (x y)}$ y $\frac{x y'}{y}$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.3.4

Combina $\frac{1}{y}$ y $y$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.12.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \cdot 1 + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.3.6

Multiplica $e^{x \ln (x y)}$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Paso 2.12.4

Reordena los términos.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)}$

Paso 3

Como $e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} x y'}{y} + e^{x \ln (x y)}$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{x y' e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Paso 5.1.2

Reordena $x$ y $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Paso 5.1.3

Reordena $e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$ y $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)} = 0$

Paso 5.2

Reordena los factores en $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + \ln (x y) e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $\ln (x y) e^{x \ln (x y)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)}$

Paso 5.3.2

Resta $e^{x \ln (x y)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}$

Paso 5.4

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Paso 5.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' x e^{x \ln (x y)} = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.1

Simplifica $(- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$

Paso 5.5.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.2.1.2.1

Reordena los factores en $- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) y e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Paso 5.5.2.1.2.2

Mueve $\ln (x y)$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ por $x e^{x \ln (x y)}$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ por $x e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $e^{x \ln (x y)}$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{x \ln (x y)}$ .

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Paso 5.6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{x \ln (x y)}$ .

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Paso 5.6.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Paso 5.6.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.6.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$