Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{1 - 4 x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 - 4 x^{3}$ .

$\frac{(1 - 4 x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - 4 x^{3}]}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 - 4 x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - 4 x^{3}]}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $1 - 4 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} - x \frac{d}{d x} [1 - 4 x^{3}]}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}])}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}])}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} - x \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} - x (- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} + 4 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} + 4 x (3 x^{2})}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} + 12 x \cdot x^{2}}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} + 12 (x^{2} x)}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} + 12 (x^{2} x^{1})}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - 4 x^{3} + 12 x^{2 + 1}}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1 - 4 x^{3} + 12 x^{3}}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 4

Suma $- 4 x^{3}$ y $12 x^{3}$ .

$\frac{1 + 8 x^{3}}{{(1 - 4 x^{3})}^{2}}$

Paso 5

Reordena los términos.

$\frac{8 x^{3} + 1}{{(- 4 x^{3} + 1)}^{2}}$