Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x}{1 - x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x$ y $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(1 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + 1 (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $x^{2} - 2 x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2.12

Multiplica $x^{2} - 2 x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Expande $(1 - x) (2 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (2 x - 2) - x (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.2.1.1

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1 \cdot - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x^{2} - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 - 2 x^{2} + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Resta $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 2 - 2 x^{2} + x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.1.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 2 - x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 2 x - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 2 x - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Reescribe $- (x^{2} - 2 x + 2)$ como $- 1 (x^{2} - 2 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - 2 x + 2}{{(- x + 1)}^{2}}$