Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ como ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + x$ y $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.5

Multiplica $1 - x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.10

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.10.2

Multiplica $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.12

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.12.1

Multiplica $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.12.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.12.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.12.4

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 9.12.5

Multiplica $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.12.6

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.12.7

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.12.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.12.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 10.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1 - x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ por $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.2

Mueve ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.3

Multiplica ${(1 - x)}^{2}$ por ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.3.1

Mueve ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.3.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.3.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.3.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$