Cálculo Ejemplos

$y = {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$

Paso 2

Expande $\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (x))$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (x))$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x}$

Paso 3.2.7

Combina $\ln (\sin (x))$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 3.2.8

Simplifica.

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Paso 3.2.8.1

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 3.2.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.8.2.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 3.2.8.2.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 3.2.8.2.3

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \ln (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 3.2.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.8.3.1

Separa las fracciones.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 3.2.8.3.2

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 3.2.8.3.3

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (\ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = (\ln (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.1.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.3

Combina $\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)}$ y ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.4

Combina $\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ y ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ y $\sin (x)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2.4

Divide $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ por $1$ .

$y' = \ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.6

Para escribir $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.8

Reordena los factores en $\frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (x))}{x}$