Cálculo Ejemplos

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$

Paso 2

Expande $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (9 x)$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (9 x)}$ a $\csc (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 3.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.5.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6

Diferencia.

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Paso 3.2.6.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.3.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6.3.2

Mueve $9$ a la izquierda de $\csc (9 x) \cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.7

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x}$

Paso 3.2.8

Combina $\ln (\sin (9 x))$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9

Simplifica.

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Paso 3.2.9.1

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.9.2.1

Reescribe $\csc (9 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9.2.2

Multiplica $9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)}$ .

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Paso 3.2.9.2.2.1

Combina $\frac{1}{\sin (9 x)}$ y $9$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9}{\sin (9 x)} \cos (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9.2.2.2

Combina $\frac{9}{\sin (9 x)}$ y $\cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9.2.3

Combina $\frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x) \ln (x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.9.3.1

Separa las fracciones.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9.3.2

Convierte de $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ a $\cot (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 3.2.9.3.3

Divide $9 \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = 9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Simplifica $9 \ln (x)$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$y' = (\ln (x^{9}) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.1.2

Reescribe $\cot (9 x)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = (\ln (x^{9}) \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.1.3

Combina $\ln (x^{9})$ y $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} {\sin (9 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.3

Combina $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ y ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.4

Combina $\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ y ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ y $\sin (9 x)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $\sin (9 x)$ de $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.5.2.4

Divide $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ por $1$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.6

Para escribir $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.8

Reordena los factores en $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{9}) \cos (9 x) + {\sin (9 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (9 x))}{x}$