Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \cos (\frac{1}{2} x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \cos (\frac{1}{2} x)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{1}{2} x)) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{x}{2}) (2 x) d x$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 4 \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - (4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x)$

Paso 4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (\frac{x}{2})$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{1}{2} x)) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - (- 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x))$

Paso 8

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Paso 9

Sea $u = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Deja $u = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 9.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u)$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \cdot 2 d u)$

Paso 10.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int 2 \cos (u) d u)$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 (2 \int \cos (u) d u))$

Paso 12

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \int \cos (u) d u)$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$

Paso 14

Reescribe $x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$ como $2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Paso 16

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Paso 16.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 (x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Paso 16.4

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 x \cos (\frac{x}{2}) - 16 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$2 x^{2} \sin (\frac{1}{2} x) + 8 x \cos (\frac{1}{2} x) - 16 \sin (\frac{1}{2} x) + C$