Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} 3 - x + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5)}{x + 5} + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Paso 1.3

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} - x \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Paso 1.4

Combina $- x$ y $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5)}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.3

Mueve $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.4

Factoriza el negativo.

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{1 + 1} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.2

Multiplica.

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Paso 2.1.2.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.3

Suma $- 5 x$ y $3 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.8.4.1

Mueve $15$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + x^{2} - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.4.2

Reordena $- 2 x$ y $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.4.3

Reordena $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.5

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.6

Resta $2 x$ de $0$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.8.7

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 4 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.2.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Paso 2.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x (x + 5)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x (x + 5)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \cdot 1 + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.9

Multiplica $x + 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.3.10

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 (x + 5)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 (x + 5)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x + 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.4.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.4.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.4.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.6.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.6.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.7.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.7.2.3

Suma $- 5$ y $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 2 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.7.2.4

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.7.2.5

Resta $2$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.7.2.6

Resta $2$ de $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + \frac{d}{d x} [5]}$

Paso 2.3.10

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + 0}$

Paso 2.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1}$

Paso 2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} - 4$

Paso 3

Evalúa el límite de $- 4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 4$