Cálculo Ejemplos

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 4.1.1

Reescribe ${(\ln (x))}^{\ln (x)}$ como $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}]$

Paso 4.1.2

Expande $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x) \ln (\ln (x))$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.5.1

Combina $\frac{1}{\ln (x)}$ y $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.5.2

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 4.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.5.3

Multiplica $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ por $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.7

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x})$

Paso 4.8

Combina $\ln (\ln (x))$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x})$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Paso 4.9.2

Combina los términos.

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Paso 4.9.2.1

Combina $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Paso 4.9.2.2

Combina $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ y $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$