Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{1} (x + 1) \sqrt{x + 3} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x + 1$ y $d v = \sqrt{x + 3}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}})]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{- 2}^{1} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 4

Sea $u = x + 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u = x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 3$ .

$u_{lower} = - 2 + 3$

Paso 4.3

Suma $- 2$ y $3$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 3$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Paso 4.5

Suma $1$ y $3$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Evalúa $(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $1$ y en $- 2$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.2

Suma $1$ y $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.5.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.5.2

Reescribe la expresión.

$2 \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.7

Multiplica $2$ por $8$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8

Combina $2$ y $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.9

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{32}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.10

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{32}{3} - - 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.12

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.14

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{32}{3} + 1 (\frac{2}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.15

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{32 + 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.17

Suma $32$ y $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.18

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.19

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.20

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.20.1

Cancela el factor común.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.20.2

Reescribe la expresión.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.21

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.22

Combina $\frac{2}{5}$ y $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.23

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.24

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Paso 6.3.25

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Paso 6.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Paso 6.3.27

Resta $2$ de $64$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Paso 6.3.28

Multiplica $\frac{62}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Paso 6.3.29

Multiplica $62$ por $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Paso 6.3.30

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{15}$

Paso 6.3.31

Para escribir $\frac{34}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{124}{15}$

Paso 6.3.32

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.32.1

Multiplica $\frac{34}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{124}{15}$

Paso 6.3.32.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{34 \cdot 5}{15} - \frac{124}{15}$

Paso 6.3.33

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{34 \cdot 5 - 124}{15}$

Paso 6.3.34

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.34.1

Multiplica $34$ por $5$ .

$\frac{170 - 124}{15}$

Paso 6.3.34.2

Resta $124$ de $170$ .

$\frac{46}{15}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{46}{15}$

Forma decimal:

$3.0\overline{6}$

Forma de número mixto:

$3 \frac{1}{15}$

Paso 8