Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ como $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

Paso 2

Expande $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.4.1

Mueve $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 3.1.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.5

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 3.1.5.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

Paso 3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

Paso 3.1.7

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.7.1

Mueve $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

Paso 3.1.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

Paso 3.2

Suma $4 x y^{3}$ y $4 y^{3} x$ .

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Paso 3.2.1

Mueve $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Paso 3.2.2

Suma $4 x y^{3}$ y $4 x y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Paso 4

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Paso 6

Como $y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y^{4}$ con respecto a $x$ es $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Paso 8

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Paso 9

Como $8 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x y^{3}$ con respecto a $x$ es $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Paso 11

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Paso 12

Como $16 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

Paso 13

Suma $2 y^{4} x + 8 y^{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Paso 14.2

Combina los términos.

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Paso 14.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Paso 14.2.2

Combina $y^{4}$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Paso 14.2.3

Combina $\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ y $x$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Paso 14.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{4}$ .

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Paso 14.2.5

Combina $8$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

Paso 14.2.6

Combina $\frac{8}{5}$ y $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$