Cálculo Ejemplos

$\int x {(x + 4)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u - 4) u^{2} d u$

Paso 2

Expande $(u - 4) u^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u^{2} - 4 u^{2} d u$

Paso 2.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 4 u^{2} d u$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 2} - 4 u^{2} d u$

Paso 2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Paso 5

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Paso 7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{4} - \frac{4}{3} {(x + 4)}^{3} + C$