Cálculo Ejemplos

$\int t^{2} (\sqrt[3]{t} + \sqrt{t} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + \sqrt{t} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + t^{\frac{1}{2}} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + t^{\frac{1}{2}}) + t^{2} (- t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int t^{2} t^{\frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} + t^{2} (- t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Paso 3.3

Reordena $t^{2}$ y $- 1$ .

$\int t^{2} t^{\frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{2 + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.5

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int t^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.6

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\int t^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int t^{\frac{6 + 1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.8.2

Suma $6$ y $1$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2 + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.10

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.11

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 3.13.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.13.2

Suma $4$ y $1$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.14

Factoriza el negativo.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - (t^{2} t^{- \frac{1}{2}}) d t$

Paso 3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.16

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.17

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Paso 3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 3.19.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Paso 3.19.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t^{\frac{7}{3}} d t + \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{7}{3}}$ con respecto a $t$ es $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Paso 9.2

Simplifica.

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$