Cálculo Ejemplos

$\int {(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2}$ como $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ .

$\int (e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.2

Expande $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{2 x + 2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.1.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\int e^{4 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int e^{4 x} - e^{2 x} e^{- 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{- 2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.3.1

Mueve $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - (e^{- 2 x} e^{2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{4 x} - e^{- 2 x + 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.3.3

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\int e^{4 x} - e^{0} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.4

Simplifica $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.5.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - (e^{2 x} e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{4 x} - 1 - e^{2 x - 2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.5.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{0} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.6

Simplifica $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} e^{- 2 x} d x$

Paso 1.3.1.8

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $e^{- 2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.8.1

Mueve $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- 2 x} e^{- 2 x}) d x$

Paso 1.3.1.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x - 2 x} d x$

Paso 1.3.1.8.3

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 4 x} d x$

Paso 1.3.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 4 x} d x$

Paso 1.3.1.10

Multiplica $e^{- 4 x}$ por $1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + e^{- 4 x} d x$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 2 + e^{- 4 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{4 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Paso 4

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Paso 6

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{- 4 x} d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = - 4 x$ . Entonces $d u_{2} = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 8.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Paso 9.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 12

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{4} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$